Summen bei den Lotto-Tipps

Betrachtet wird die Summe der 6 Lotto-Tippzahlen :

     S = T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6

Verwandt hiermit ist die Betrachtung des Mittelwertes der 6 Lotto-Tippzahlen ( M = S / 6 ). Der Unterschied besteht nur in dem Faktor 1 / 6 .

Der statistische Mittelwert für die Summe der 6 Lottozahlen ist 150 (den Beweis sparen wir uns hier).

Entsprechend ist der statistische Mittelwert der 6 Lottozahlen 150 / 6 = 25. Hier wird im Folgenden nur die Summe untersucht.

Für das 6er-Lotto gibt es 13.983.816 Kombinationsmöglichkeiten. Die Summe der kleinsten Zahlen beträgt 21, die Summe der größten Zahlen beträgt 279. Sie kommen jeweils natürlich nur in einer Kombination vor.

Genau in der Mitte dazwischen liegt der Mittelwert 150. Dieser Mittelwert kommt allerdings bei 165.772 Kombinationen vor, wie man der untersten Tabelle entnehmen kann.

Zwischen der kleinsten und der größten Summe gibt es eine Verteilung nach der "Gauß'schen Glockenkurve".

In der Abb.1 ist die absolute Häufigkeit der Lottosummen von 1956 bis 2000 als dunkelblauer Linienverlauf graphisch dargestellt. Die rote Kurve zeigt die Häufigkeit der Summen, wie sie theoretisch zu erwarten wäre. Es ist die schon erwähnte Glockenkurve, die ihr Maximum bei 150 hat und dort einen Wert von 27,8 zeigt, d.h. in dem 45jährigem Zeitraum sollte der exakte Summenwert=150 etwa 28x vorgekommen sein (reales Vorkommen: 30x).

Insgesamt zeigt sich eine gute Anpassung an den theoretischen Verlauf der Häufigkeitskurve, die im Laufe der Zeit immer besser werden wird.

Die fast perfekte Übereinstimmung von statistischer Theorie und praktisch gezogenen Zahlen zeigt auch die folgende Gegenüberstellung des Mittelwertes, der Varianz und der Standardabweichung (=Wurzel aus Varianz).

                          theoretisch    praktisch

Erwartungs-/ Mittelwert      150,0         151,3

                Varianz     1075,0        1084,3

     Standardabweichung       32,8          32,9

Die Standardabweichung ist ein Maß für die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert.

Die Abb.1 sagt nichts über die zeitliche Verteilung. Es liegt natürlich die Vermutung nahe, dass die Verteilung über die Zeit gleichförmig ist. Dieses wird durch die Abb.2 bestätigt. Für das Diagramm in Abb.2 wurden die durchschnittlichen Summen pro Jahr ermittelt und jeweils als Abweichung vom theoretischen Wert=150 als Balken dargestellt. (Bitte beachten, dass das Diagramm erst bei S=140 beginnt.)

Alles in allem bietet die statistische Untersuchung der Summen keine Überraschung. Die Zufallsverteilung der Lottozahlen erweist sich als ziemlich perfekt.

Anders sieht es übrigens bei der Auswahlwette 6 aus 45 aus, für die eine ähnliche Untersuchung durchgeführt wurde.

Von den 13.983.816 möglichen 6-er Tipps zeigt die untere Tabelle, wie sie sich auf die zugehörigen Summen der 6 Tippzahlen verteilen. Die kleinste mögliche Summe ist 1+2+3+4+5+6=21, sie kommt natürlich nur einmal vor, genauso wie die höchste Summe 44+45+46+47+48+49=279.

Am häufigsten kommt die Summe 150 vor, nämlich 165.772 mal. Sie ist der statistische Mittelwert für die Summe. Würde man Summe und Anzahl (Häufigkeit) in einem Diagramm darstellen, ergäbe sich ein symmetrisches Bild wie bei der roten Linie in Abb.2 .

    (SM: Summe, ANZ: Anzahl)