Langfristiges Verhalten der Lottozahlen

Bei dieser Untersuchung werden alle Ziehungen der Samstags-Lottozahlen von 1961 bis 2000 betrachtet. Das sind 40 Jahre mit insgesamt 2088 Ausspielungen. Da die Zusatzzahl unter den gleichen Bedingungen wie die sechs Gewinnzahlen gezogen wird, wurde sie ebenfalls einbezogen. Insgesamt wurden somit 2088 x 7 = 14616 Lotto-Zahlen gezogen. Da eine gezogene Zahlenkugel die Zahlen von 1 bis 49 tragen kann, ergibt sich ein Erwartungswert von 14616 / 49 = 298 am Ende der Zeitperiode.

Die 49 Möglichkeiten bestehen aber nur beim ersten Ziehungsvorgang einer Ausspielung. Da die Kugel nicht wieder zurückgelegt wird (eine Lottozahl darf ja nicht doppelt vorkommen), bestehen beim zweiten Ziehungsvorgang nur noch 48 Möglichkeiten, beim dritten nur 47 usw. Bei der nächsten Ausspielung geht es wieder von vorne los. Für unsere Zwecke können wir das unberücksichtigt lassen. Der Erwartungswert ändert sich dadurch nicht.

In der obigen Abb.1 ist die absolute Häufigkeit als Balkendiagramm dargestellt. Man beachte, dass die Y-Achse nicht bei "Null" beginnt. Die daraus resultierende Spreizung der Y-Achse lässt die Unterschiede dramatischer aussehen als sie in Wirklichkeit sind. Das gilt übrigens auch für die noch folgenden Diagramme.

Vier Lottozahlen sind besonders markiert. Sie haben besondere Eigenschaften und werden deshalb genauer untersucht. Die "32" wurde am häufigsten gezogen und die "13" am wenigsten. Die "18" ist ein Beispiel für eine Lottozahl die am Ende den Erwartungswert von 298 genau erfüllt. Natürlich ist damit nicht gesagt, wie oft diese Eigenschaft während der gesamten Spielstrecke eintritt. In einer gesonderten Untersuchung (hier nicht dargestellt) wurde ermittelt, dass die "45" den Erwartungswert am häufigsten (100x) kreuzt. In den betrachteten 40 Jahren sollte sie deshalb zumindest zeitweise sehr eng um den Mittelwert pendeln.

Die Häufigkeit der Lottozahlen nach einer bestimmten Zeitperiode (Abb.1) ist nur eine Momentaufnahme, die nichts darüber aussagt, wie diese Häufigkeiten sich entwickelt haben. Aufschluss hierüber erhalten wir durch die Abb.2, bei der die absolute Häufigkeit der zuvor markierten Lottozahlen in ihrem zeitlichen Verlauf dargestellt ist. Es wäre jedoch sinnlos in diesem Diagramm alle 49 Lottozahlen aufzunehmen, man würde nichts mehr erkennen.

Der besseren Übersicht zuliebe wird das Diagramm der Abb.2 etwas abgewandelt, indem der linear wachsende Mittelwert als Nulllinie aufgefasst wird und die positive oder negative Abweichung hiervon eingetragen wird (Abb.3).

In der Abb.3 fällt sofort auf, dass die "32" ihre Favoritenrolle frühzeitig übernommen hat und ständig ausbaut. Mit umgekehrtem Vorzeichen gilt ähnliches für die "13" als Nachzügler (Restant). Die "18", die am Ende genau auf der Nulllinie liegt, entfernt sich in den 40 Jahren des Betrachtungszeitraumes nie sehr weit vom Mittelwert. Die "45" schneidet am häufigsten die Nulllinie, d.h. sie liegt lange Zeit sehr nahe am Mittelwert. Das tut sie aber nur bis ca. 1988, danach entscheidet sie sich dazu, die Nulllinie zu verlassen und im negativen Terrain zu wachsen.

Bisher haben wir absolute Werte betrachtet. Im nächsten Diagramm (Abb.4) gehen wir auf eine relative Darstellungsweise über, d.h. die Häufigkeit wird im Verhältnis zur Anzahl der Ziehungen betrachtet. Nach dem Gesetz der großen Zahlen soll sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit (=1/49) immer mehr nähern, je länger die Spielstrecke ist. In Abb. 4 können wir das gut kontrollieren.

Die relative Häufigkeit der Lottozahlen schwankt nach dem Start des Betrachtungszeitraumes sehr stark, beruhigt sich dann und begibt sich erwartungsgemäß in die Nähe der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit von 1/49. Zumindest gilt das für die "18", die "45" und für die meisten anderen Lottozahlen, (hier nicht zu sehen.) Die "13" als Mauerblümchen und die "32" als Favorit halten sich bemerkenswerterweise nicht daran. Die "13" liefert ein Bild, dass eine von 1/49 abweichende Wahrscheinlichkeit von nur 1/57 für die Vergangenheit ergibt, die "32" konvergiert gegen eine Wahrscheinlichkeit von ca. 1/42.

Die Konstanz der relativen Häufigkeit nach längerer Zeit darf nicht darüber hinwegtäuschen, dass lokale Häufigkeiten Schwankungen unterliegen können, die scheinbar im Widerspruch zu dem Langfristverhalten liegen. Um das zu untersuchen, werden die relativen Häufigkeiten von zwei kürzeren vierjährigen Perioden von 1961-1964 (Abb.5) und von 1981-1984 (Abb.6) dargestellt.

Die Abb.5 zeigt die relative Häufigkeit der ersten vier Jahre der Betrachtungsperiode. Ganz am Anfang schlagen die Kurven heftig aus. Die Werte liegen hier zwischen 0 und maximal 1 / 7 = 0,14. Wenn die betreffende Lottozahl gezogen wird, springt die Kurve nach oben, danach sinkt sie entsprechend dem Fortschritt der Ausspielungen (Hrel = Habs/n) allmählich ab, daher die Sägezahnform der Kurventeile.
Alle Kurven haben mehr oder weniger die Tendenz, sich der Wahrscheinlichkeit von 1/49 anzunähern. Insbesondere gilt das sogar für die "13" von der wir ja wissen, dass sie später unterrepräsentiert ist. Die "32" dagegen wird ihrer Favoritenrolle schon sehr früh gerecht.

Im nächsten Diagramm (Abb.6) gehen wir 20 Jahre weiter und tun so, als ob hier die Ziehungen neu starten.

Die Darstellung der relativen Häufigkeit in Abb.6 beginnt 1981, d.h. in der Hälfte des 40-jährigen Betrachtungszeitraumes von Abb.4. Nach den unvermeidbaren anfänglich starken Schwankungen auch hier eine Andeutung zur Konvergenz an die Wahrscheinlichkeit 1/49. Bemerkenswert ist hier die "32", die zwar auch wieder im positiven Bereich endet, im ersten Jahr (1981) jedoch unterdurchschnittlich vertreten ist. Dies ist ein Beispiel dafür, dass auch Favoriten zeitliche Phasen haben, in denen sie lokal betrachtet "zurückbleiben".