Warten auf den nächsten JackpotDer Jackpot hat sehr viel mit der sog. Superzahl zu tun. Gedanken hierzu findet man auch im Beitrag Ist die Superzahl wirklich super? Im folgenden wird auf den statistischen Aspekt des Jackpots näher eingegangen. Ein Jackpot entsteht nur, wenn es keinen Gewinner im 1.Rang gibt. Die hierfür reservierten 10% der Ausschüttung werden zurückgelegt und bei der nächsten Ausspielung (egal ob Mittwoch oder Samstag) wieder dem 1.Rang hinzuaddiert. Das setzt sich solange fort, bis es mindestens einen Gewinner im 1.Rang gibt, der dann den gesamten Jackpot erhält. Zuerst untersuchen wir vorhandenes Datenmaterial. Dazu nehmen wir alle Ausspielungen des Jahres 2003 und 2004 (MI und SA!). Die ersten drei Werte basieren auf amtlichen Angaben. Der Rest wurde errechnet. Jahr 2003
2004 Der Umsatz und damit die abgegebene Anzahl von Lottotipps haben sich vom Jahr 2003 nach 2004 fast nicht geändert. Sehr groß ist dagegen der Unterschied der Gewinner des 1. Ranges, die wir hier als Jackpotgewinner bezeichnen, obwohl nicht jedesmal ein akkumulierter Jackpot gewonnen wurde. Deren Anzahl übersteigt in 2003 mit 74 den Wert von 2004 mit 48 erheblich. Dieser Unterschied wird nur durch 2 Ausspielungen in 2003 verursacht, bei denen sich 11 bzw. 16 Gewinner den Jackpot teilen mussten. Derartige Massengewinne passieren immer, wenn dieselben Lottozahlen von vielen Spielern getippt werden, siehe hierzu Bilder sollte man malen, nicht tippen. In den beiden folgenden Diagrammen ist die Jackpotentwicklung in den Jahren 2003 und 2004 grafisch dargestellt. Die roten Balken kennzeichnen Gewinnauszahlungen im 1. Rang. Ist der Balken unterbrochen, so verteilt sich der Gewinn auf eine entsprechende Anzahl von Gewinner. Jackpotbildung am Mittwoch (ungerade Ausspielungsnummer) sind dunkelgrün markiert und für Samstag (gerade Ausspielungsnummer) hellgrün.
In den Diagrammen ist gut zu erkennen, dass infolge der wesentlichen höheren Umsätze am Samstag (hellgrün) verglichen mit dem Mittwoch (dunkelgrün) auch die Jackpots nach dem Samstag höher anschwellen. Selbstverständlich liefert auch die Wahrscheinlichkeitsrechnung Aussagen über die Entstehung von Jackpots, denen wir uns jetzt widmen. Allerdings sind hier Einschränkungen zu beachten, weil die Vorraussetzung des puren Zufallsgeschehens nicht gegeben ist. Beispielsweise sollte der Tipp 1,2,3,4,5,6 bei 140 Mill. zufälligen Tipps statistisch nur einmal getätigt werden. Wie man inzwischen weiß, kommt er aber schon pro Ausspielung über 30000 mal vor! Wichtig für uns ist die durchschnittliche Anzahl von 68 Mio. Tipps pro Ausspielung. Ungeachtet der schon erwähnten Tatsache, dass der Umsatz bei den Samstagsziehungen mehr als doppelt so hoch ist wie am Mittwoch, ergeben beide zusammen in einer Woche ca. 136 Mio. Tipps. Diese Zahl liegt auffällig nahe bei den fast 140 Mio. Kombinationsmöglichkeiten. Sicher sind die 140 Millionen Tipps pro Woche und die Gewinnwahrscheinlichkeit von p=1/(140 Mill.) kein Zufall, sondern bewusst so geplant. Bei dieser Konstellation ist nicht damit zu rechnen, dass jedesmal in der 1. Gewinnklasse gewonnen wird. Andererseits wird die Zeit bis zur Auflösung des Jackpots aber überschaubar bleiben. Interessanterweise überlässt man das Tippen der Superzahl nicht dem Lottospieler, sondern nimmt die Endziffer des Spielscheines. Könnten die Lottospieler die Superzahl selber ankreuzen, so käme es wegen der Vorliebe bzw. Abneigung für bestimmte Ziffern sicher zu Verwerfungen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn (6 + SZ) bei der nächsten Ausspielung ist stets gleichbleibend und nicht davon abhängig, ob ein Jackpot gestartet, aufgelöst oder fortgesetzt wird. Mittwoch, mit ca. 50 Mio. Tipps: 50/140=0,36
(36%) Der Erwartungswert für das erste Erscheinen des Supergewinns ist E=1/p und sofort plausibel. D.h. im Schnitt wird nach ca. 140 Mio. Tipps ein 6er mit Superzahl erreicht. Demnach müssten pro Jahr (siehe obige Daten) theoretisch 51 Jackpotgewinne vorkommen. Für das unauffällige Jahr 2004 mit seinen 48 Jackpotgewinnern stimmt das ganz gut, 2003 liegt mit 74 Jackpotgewinnern daneben. Die Ursache hierfür wurde schon genannt. Wir werden jetzt die theoretische Wahrscheinlichkeit für das Anwachsen eines Jackpots berechnen oder anders formuliert: wie lange und mit welcher Wahrscheinlichkeit muss man warten, bis ein Gewinn des 1. Ranges eintritt. Dazu nehmen wir an, dass im Schnitt pro Ausspielung (Mi bzw. Sa) 70 Mio. Tipps abgegeben werden, was gegenüber den vorhandenen Daten eine etwas grobe Vereinfachung ist, aber tendenziell nichts ändert. Der Haupttreffer wird nicht eintreten mit der Gegenwahrscheinlichkeit (1-p). Die Wahrscheinlichkeit für das erstmalige Eintreten des Supergewinns nach n Ausspielungen erhält man dann durch: W=1-(1-p)^(n*70 Mill.) Der Verlauf dieser einfachen Funktion ist im untenstehenden Diagramm zu sehen. Da n (die Anzahl der Ausspielungen) nur ganzzahlige Werte annimmt, ist es eine Treppenkurve. Es beantwortet zwei Fragen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit (hellblau), dass nach n Ausspielungen erstmals ein Gewinn im 1. Rang auftritt. Eben so gut lässt sich über die komplementäre Wahrscheinlichkeit (1-p, dunkelgrün) der Wert für die Lebensdauer des Jackpots ablesen, d.h. wie lange tritt kein Gewinn im 1. Rang auf.
Nach 2 Ausspielungen (140 Mill. abgegebene Tipps) hat die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen des Gewinns den charakteristischen Wert 0,63. Die Kurve nähert sich dann ziemlich flott dem Wert w=1, erreicht diesen Wert aber nie! Es gibt schließlich kein physikalisches Gesetzt, das den Lottozahlen und der Superzahl verbietet, stets solche Werte anzunehmen, bei denen kein Supergewinn entsteht. Praktisch sieht es aber so aus, dass z.B. nach 3 Wochen (=6 Ausspielungen) die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen des Jackpots schon bei 0,95 (95%) liegt. Interessant wird die Situation nach 7 Wochen (=14 Ausspielungen). Das Lottovolk würde ausrasten. Der Jackpot wäre wegen der sicher steigenden Umsätze auf 100 Mio. oder mehr gewachsen, die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall beträgt nur 0,000061. Laut Lottoregeln wird dann der Jackpot bei der nächsten Ziehung (sofern wieder kein Gewinner für Klasse 1 ermittelt wird) dem nächstniedrigeren Rang zugeschlagen. Man hat offensichlich die Sorge, dass dieses sehr unwahrscheinliche Ereigniss trotzdem eintreten könnte und die Bevölkerung verunsichern würde, denn schon Aristoteles bemerkte, es ist wahrscheinlich, dass das Unwahrscheinliche eintritt. Außerdem könnte paradoxerweise bei Fortsetzung des Jackpots in dieser Situation jemand auf die Idee kommen, alle möglichen 140 Mio. Tipps bei der Lottogesellschaft anzumelden und das Kapital hierfür (ca. 105 Mio. €) über den mit Sicherheit zu erwartenden Jackpotgewinn zu finanzieren. Abgesehen davon, dass sich die Lottogesellschaft auf so einen Deal nicht einlassen würde, könnte die Sache auch platzen, wenn der Jackpot dann mit anderen Gewinnern zu teilen wäre. Es wurde indirekt schon erwähnt, trotzdem nochmal die Warnung vor der Fehlinterpretation des obigen Diagrammes. Wenn z.B. nach irgendeiner Ausspielung der Jackpot immer noch nicht aufgelöst ist, so verringert sich dadurch nicht die Wahrscheinlichkeit für die Fortsetzung des Jackpots bei der nächsten Ausspielung. Das Diagramm beginnt für jede Ausspielung wieder von vorne. Es ist wie beim Münzwerfen. Auch wenn 6mal hintereinander "Zahl" geworfen wurde, so ist beim 7. Wurf entgegen landläufiger Meinung die Wahrscheinlichkeit für "Adler" nicht größer, sondern bleibt bei 0,5. Man darf hier nicht die geringe Wahrscheinlichkeit für den Beginn einer 7-fachen Serie nehmen, denn die Bedingung einer vorrausgehenden 6-fachen Serie ist Vergangenheit und Realität, von der die Münze allerdings keine Ahnung hat. Zur praktischen Kontrolle dieses Sachverhaltes sucht man in einer langen Serie von Münzwürfen alle mindestens 6-fachen Serien heraus und registriert dann, wie oft sich die Serie fortgesetzt hat und wie oft sie abgebrochen wurde - und siehe da, entsprechend der fifty-fifty Wahrscheinlichkeit des Münzwurfes wird zur Häfte die Serie fortgesetzt und zur Hälfte abgebrochen und das gilt für beliebige Serienlängen. Die Bildung von Jackpotserien ist vergleichbar, ungefähr sogar mit ähnlichen Wahrscheinlichkeiten. 6/05 |
