Einmal im Leben einen Lotto-Hauptgewinn !

Wir stellen uns die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit jemand einen Volltreffer landen kann, der sein Leben lang regelmäßig Geld für Lotto opfert. Gleichzeitig untersuchen wir, ob es günstiger ist, jede Woche zu spielen oder die Einsätze zu sparen und nach Jahrzehnten alles gesparte auf einmal zu setzen.

Unter Volltreffer wollen wir hier 6 Richtige verstehen, was im Schnitt ca. eine halbe Million € bringen sollte. Damit es nicht zu kompliziert wird, lassen wir die Superzahl weg. Es sieht so schon ziemlich trübe aus. Die Superzahl würde die Wahrscheinlichkeiten nochmal um den Faktor 10 nach unten drücken.

Zum besseren Verständnis vorab einige Erklärungen anhand eines ganz einfachen Würfelspiels :
Wir haben Spieler A und Spieler B. Eine dritte Person würfelt mit nur einem Würfel, nimmt am Spiel aber nicht aktiv teil, sondern kassiert Einsätze und zahlt Gewinne aus (das entspricht der Lottogesellschaft).

Vor jedem Wurf des Würfels kann (aber muss nicht) 1 € oder ein vielfaches davon von den Spielern auf eine oder mehrere der Zahlen 1 bis 6 gesetzt werden. Wird die gesetzte Zahl erwürfelt, so erhält der Spieler pro gesetztem € einen Gewinn von 3 € sonst verliert er den Einsatz. Da jede Zahl des Würfels eine Chance von 1:6 hat, wären 6 € ein fairer Gewinn. 3 € sind nur 50% davon - eben genau wie beim Lotto.

Spieler A hat folgende Strategie: Er ist bei jedem Spiel mit 1 € dabei. Spieler B dagegen spart den 1 € und setzt alle gesparten (akkumulierten) € auf einmal. (Zinsen lassen wir hier weg, weil es nur um die Systematik geht.)

Für Spieler B können wir die Wahrscheinlichkeiten für die jeweilige Spielstrecke leicht berechnen. Wenn er beispielsweise 3 € gespart hat, so kann er 3 Zahlen belegen und hat somit bei 6 möglichen Zahlen eine Chance von 50% (Wahrscheinlichkeit p=0,5). Spart er sogar 6 €, so kann er alle 6 Zahlen belegen und trifft garantiert (100%; p=1,0) erhält aber nur einen Gewinn von 3 €, hat also unter dem Strich wegen der 50%-Ausschüttung trotzdem die Hälfte verloren.

Die linear verlaufende Wahrscheinlichkeit bei der Spielstrategie von Spieler B ist als blaue Linie in Abb.1 eingetragen. Es zeigt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einmaligem Satz für linear steigende einmalige Einsatzhöhe.

Spieler A setzt jedesmal konstant 1 € und hat somit jedesmal eine Gewinnchance. Die Wahrscheinlichkeit steigt bei A aber nicht linear (rote Kurve in Abb. 1).

Hier nur ein Hinweis wie man dabei rechnerisch vorgeht. Anstelle der Gewinnwahrscheinlich p=1/6 verwendet man die Gegenwahrscheinlichkeit p*=(1-p)=5/6 die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit nicht gewonnen, also verloren wird. Wegen der Unabhängigkeit der Würfe dürfen die Wahrscheinlichkeiten sukzessive multipliziert werden.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler A (rote Kurve) verläuft immer unterhalb der von Spieler B (blau). Zum Beispiel hat Spieler B beim 5. Wurf (bei dem er 5 € auf einmal setzt) eine Chance von 0,83 (83%) und A (der bei jedem Wurf 1 € gesetzt hat) dagegen nur 0,6 (60%).

Man darf aber nicht übersehen, dass Spieler B bei diesem Beispiel die 4 vorhergehenden Sätze nicht tätigte, sondern für den 5. Satz "gespart" hat und deshalb zuvor nicht gewinnen konnte. Spieler A hingegen hat bei jedem Wurf eine Gewinnchance, er hätte somit beispielsweise auch schon beim 2. Satz die 3 € mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0,3 (30%) gewinnen können.

Die Gewinnwahrscheinlichkeiten im genannten Beispiel, die vor Beginn des Spieles für eine bestimmte Spielstrecke ermittelt werden, dürfen nicht mit der Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen einer bestimmten Würfelzahl beim nächsten Wurf verwechseln werden, denn diese ist stets 1:6.

Auch hier wieder der Hinweis: Die Würfe des Würfels sind voneinander unabhängig und da auch Würfel ähnlich wie die Lottozahlen kein Gedächtnis, kein Gefühl, keinen Ordnungssinn usw. haben, ist es egal welche Zahl Spieler A setzt, er kann auch immer dieselbe Zahl setzten ohne die Wahrscheinlichkeit zu beeinflussen.

Wie schon erwähnt, gewinnt Spieler B garantiert, wenn er 6 € gespart hat, weil er dann alle Zahlen setzen kann. Spieler A ist dann erst bei 67% Wahrscheinlichkeit angekommen. Die gerade blaue Linie von B lässt sich beliebig verlängern. Beim 12. Wurf wären 12 Sätze gespart. Damit könnte jede Zahl mit 2 € belegt werden und der Gewinn wäre 6 €, was wieder 50% des Umsatzes sind. So geht das beliebig oft weiter.

Anders beim Spieler A. Er kann niemals die 100% (p=1) erreichen, wie die rote Kurve schon erahnen lässt, d.h. physikalisch ist es theoretisch möglich, dass Spieler A nie gewinnt. (Wir setzten vorraus, dass für alle 6 Zahlen des Würfels superpräzise p=1/6 gilt.) Praktisch wird die Wahrscheinlichkeit irgenwann aber so hohe Werte annehmen, dass es schließlich in unserer realen Welt zu einem Gewinn kommt. Von dem bis dahin aufgelaufenen Verlust reden wir lieber nicht.

Nehmen Sie einmal an, Sie sind Spieler A und setzen jedesmal z. B. auf die "4". Es wird 30mal gewürfelt, eine "4" ist nicht dabei. Es wird weitere 30mal also insgesamt 60mal gewürfelt, immer noch keine "4". Erst beim 90. Wurf erscheint erstmals eine "4". Glauben Sie, dass so etwas möglich ist? Oder denken Sie, der Würfel ist gezinkt?

Wenn Sie das nicht glauben, dann dürfen Sie auch nicht glauben, dass es möglich ist, mit einem Tippkasten 6 Richtige im Lotto zu treffen, denn die Wahrscheinlichkeiten sind in beiden Fällen ungefähr gleich, also ca. 1:14 Millionen - das aber nur nebenbei.

Das Beispiel mit dem Würfel können wir jetzt auf das Lotto (Abb.2 ) übertragen. Es ändern sich nur die Zahlen. Um mehr Realität hineinzubringen nehmen wir als Grundlage ein wöchentliches Spiel mit 60 Tippkästen (Kombinationen), das sind 5 voll ausgefüllte Scheine, also ein recht intensives Spiel.

Die Wahrscheinlichkeit bei einer Ausspielung hiermit zu gewinnen beträgt p=60/13983816=0,00000429. Wir haben auch wieder den roten Spieler A, der wöchentlich spielt und den blauen Spieler B, der die Einsätze spart und dann alles auf einmal setzt.

Die Werte sind leider irrwitzig aber so sind nun mal die Lottochancen: Um genügend Geld für alle 13983816 Kombinationen zu haben (also p=1) muss Spieler B jetzt fast 4500 Jahre wöchentlich 60 Tippreihen "sparen". Nach dieser langen Zeit hat Spieler A mit seinem realen wöchentlichen Spiel genauso viel Geld ausgegeben, aber erst eine Wahrscheinlich von p=0,63 (63%) für einen 6er-Treffer erreicht. Selbstverständlich besteht auch hier die Möglichkeit, dass A den 6er-Treffer schon vorher (bei entsprechend geringerer) Wahrscheinlichkeit ergattert. Um auf den Boden der Realität zurückzukehren sind in Abb.3 die ersten 50 Jahre von Abb.2 herausvergrößert. Das ist ein realistischer Zeitraum für die gesamte Karriere eines Lottospielers. Es zeigt sich etwas überraschendes und sehr wichtiges. Man erkennt schon in Abb.2, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Strategien von A und B erst nach ein paar hundert Jahren auseinanderdriften. In der Vergrößerung wird es ganz deutlich: In den ersten 50 Jahren sind die Werte für A und B praktisch identisch (der Fehler ist kleiner als 1 Promille). Ursache hierfür ist die extrem geringe Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige.

Es ist also egal ob ich 50 Jahre lang jede Woche 5 volle Lottoscheine (je 12 Kästen) tippe oder das Tippgeld spare und nach 50 Jahren 13000 volle Lottoscheine in einer Woche abgebe. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen 6er-Treffer ist in beiden Fällen gleich: p=0,011 (1,1%).

Da bei wöchentlicher Tippweise zusätzlich die (entsprechend geringere) Chance besteht, schon vorher einen 6er-Treffer zu erzielen, ist die Spielweise A eindeutig vorzuziehen.

In Abb.3 können wir auch ablesen, dass nach 45 Jahren p=0,01 erreicht wird, das ist 1 %. Etwas anders formuliert heißt das, von 100 Personen die 45 Jahre jede Woche 60 Tippreihen spielen, wird im Schnitt nur eine Person einen 6er im Lotto erzielen.

Selbstverständlich werden in der Zeit auch etliche Gewinne unterhalb des 6er erzielt, worauf hier nicht eingegegangen wurde.

10/04