Gibt es ein Drittelgesetz?

Beobachtet man über einen längeren Zeitraum die jeweils letzten sieben Lottoziehungen, was sehr leicht unterhalb des Lottogenerators "Berechnungsmethoden ..." vollzogen werden kann, so stellt man bei oberflächlicher Betrachtung fest, dass etwa ein Drittel der möglichen Lottozahlen überhaupt nicht gekommen ist, ein Drittel nur einmal und das letzte Drittel zeigt Zahlen, die zweimal oder öfter vorgekommen sind. Das gilt sowohl für die Mittwochsziehung als auch für die Samstagsziehung.

Der Betrachtungszeitraum umfasst, wie schon gesagt, die letzten sieben Ziehungen vom Mi oder Sa. Die Ziehung der Zusatzzahl wird mit einbezogen. Da uns nur die Zahlenstatistik interessiert, gibt es keinen Grund, die Zusatzzahl auszugrenzen, denn sie wird unter ähnlichen Bedingungen gezogen wie die übrigen Zahlen, auch wenn sie bei der Gewinnermittlung anders behandelt wird.

Unter dieser Vorraussetzung erhalten wir 7x7= 49 gezogene Lottozahlen getrennt für MI bzw SA, d.h. jeweils genauso viele Ziehungszahlen wie es Lottozahlen gibt. Wir wollen das einen Zyklus nennen. Es leuchtet sofort ein, dass es mögliche wäre, in so einem Zyklus alle Lottozahlen jeweils einmal zu ziehen. Natürlich ist die Wahrscheinlichkeit hierfür extrem winzig. Die andere Extremsituation wäre, dass irgendeine Zahl 49mal gezogen würde. Dieses ist aber nicht möglich, weil die Zahlen bei einer Ziehung nicht doppelt vorkommen können. Eine bestimmte Zahl könnte in einem Zyklus höchstens 7mal vorkommen.

Die vorgenannte Tatsache erfordert leider ein komplizierteres statistisches Modell (Ziehung aus einer Urne ohne Zurücklegen der Kugel). Wie schon an anderer Stelle vereinfachen wir auch hier das Statistikmodell durch die Annahme einer Ziehung der Zahlenkugeln mit Zurücklegen, d.h. bei jedem einzelnen Ziehungsvorgang steht die volle Menge der 49 Lottozahlen zur Verfügung. Mit diesem Modell ist es theoretisch auch möglich, dass irgendeine bestimmte Zahl 49mal in einem Zyklus vorkommt. Für Untersuchungen an den "Rändern" der Wahrscheinlichkeit, wäre dieses vereinfachte Modell ungeeignet. Uns interessiert aber nur der praktisch vorkommende Wahrscheinlichkeitsbereich und dieser erlaubt die getroffenene Idealisierung.

Mit der vorgenommenen Vereinfachung haben wir in einem Zyklus 49 einzelne und gleichwertige Ziehungen, die voneinander unabhängig sind, also eine sog. Bernoulli-Kette. Nun können wir mit relativ einfachen Mitteln daran gehen, das Erscheinen der Zahlen in einem Zyklus zu untersuchen.

Die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung (Ereignis E) einer bestimmten Lottozahl ist p=1/49. Die Gegen- oder Komplementärwahrscheinlichkeit (Ereignis E'), dass eine bestimmte Zahl nicht gezogen wird ist p'=1-p=1-(1/49)=48/49. Nun stellen wird die Frage: Wie groß ist bei einer Zykluskette mit der Länge n (=49) die Wahrscheinlichkeit P, dass bei den ersten x Ereignissen das Ereignis E x-mal nacheinander eintritt, wobei x die Werte 0 bis n haben kann. Man beachte, das kleine "p" steht für die Einzelwahrscheinlichkeit, das große "P" für die Wahrscheinlichkeit der Ereigniskette.

Das Ereignis E tritt zuerst x-mal ein, folglich muss danach das Gegenereignis E' (n-x)-mal eintreten, damit der Zyklus voll wird. Wegen der Unabhängigkeit der wiederholten Ereignisse sind alle ihre Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren.

Gleichfalls mit der Unabhängigkeit ist auch zu begründen, dass nicht nur die ersten x Ereignisse nacheinander die Wahrscheinlichkeit P aufweisen, sondern auch alle x Ereignisse, die in ganz anderer Reihenfolge auftreten. Es sind also alle möglichen Kombinationen von x aus n Elementen zu erfassen: Der letzte Ausdruck ist eine Kurzschreibweise für die vorliegende Binomialverteilung. Sie gibt Auskunft über die Wahrscheinlichkeit der Trefferanzahl x bei n Wiederholungen mit konstanter Wahrscheinkeit p der Einzelereignisse. Die uns unteressierenden Werte sind in der der Abb.1 grafisch dargestellt.

Zum besseren Verständnis hier die Formel für die Berechnung der Kombinationen von k Elementen aus n Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholungen: Bei Rechnung mit Zahlenwerten kürzen sich viele Faktoren heraus. Es verbleiben im Zähler und im Nenner k Faktoren nach dem leicht erkennbaren Schema.

Wir können ablesen, dass innerhalb eines Zyklus' von 49 Einzelziehungen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zahl überhaupt nicht gezogen wird P=0,36 ist. Nur einmal kommen Ziehungszahlen mit der Wahrscheinlichkeit P=0,37 vor und der gesamte akkumulierte Rest (durch Schraffur angedeutet), also zwei oder mehrfaches Vorkommen hat eine Wahrscheinlichkeit von P=0,26. Diese Wahrscheinlichkeiten umgerechnet auf Häufigkeiten ergibt in einem Zyklus (gerundet) 18 Zahlen die nicht vorkommen, ebenfalls 18 Zahlen die einmal vorkommen und der Rest sind 13 Zahlen, die mehr als einmal vorkommen.

Eine genaue Dreiteilung gibt es also nicht. Immerhin stellt sich heraus, dass einfaches Vorkommen und Null Vorkommen einer Zahl in einem Zyklus fast gleich groß sind.

Aufschlussreich ist auch eine genauere Betrachtung des Null-Vorkommens bei der Binomialverteilung B(n,p). Mit der Vorgabe, dass in einem Zyklus Einzelwahrscheinlichkeit und Zyklus über p=1/n zusammenhängen vereinfacht sich die Formel zu:

Der letzte Ausdruck hat eine besondere Eigenschaft:    e = 2,718...   (Eulersche Zahl)

Interessanterweise taucht hier die Eulersche Zahl auf, der man häufig in der Mathematik und Naturwissenschaft begegnet, insbesondere bei der Beschreibung von Wachstumsprozessen. Der Grenzwert konvergiert sehr rasant , wie das Diagramm in Abb.1 schon erahnen läßt und im Diagramm der Abb.2 deutlich gezeigt wird.

Die Wahrscheinlichkeit des Nichterscheinens einer Nummer innerhalb eines Zyklus' ist bei größerem n praktisch konstant und weitgehend unabhängig von der Zykluslänge und beträgt P(0)=0,36=36%. Die Gegenwahrscheinlichkeit hierfür beträgt P'=0,64, d.h. 64% der Zahlen kommen mindestens einmal oder öfters vor.

Mit dieser Kenntnis lässt sich beispielsweise für andere Lotterien wie die italienische Lotterie mit 5 Ziehungen aus 90 Zahlen sofort angeben, dass in einem Zyklus von 90 Einzelziehungen (=18 Lottoziehungen) etwa 33 Zahlen im Schnitt nicht vorkommen werden.

Nun stellt sich natürlich die Frage, kann man die hier vorgestellten statistischen Gegebenheiten irgendwie bei der Wahl des nächsten Lottotipps gewinnträchtig nutzen? Schließlich sind eine ganze Reihe von logischen Aussagen möglich, wobei wir aber immer in einem Zyklus bleiben.

Es leuchtet beispielsweise unmittelbar ein, das eine Lottozahl aus der Menge der bisher nicht gezogenen Zahlen beim nächsten Mal nur dort bleiben kann oder in die Menge der einmal gezogenen Zahlen wechseln kann. Aus der Menge der zwei- oder mehrfach gezogenen Zahlen ist nach einer neuen Ziehung niemals ein sofortiger Wechsel in die Menge der nichtgezogenen Zahlen möglich usw.

Andererseits kann man es als unwahrscheinlich einstufen, dass alle Lottozahlen der nächsten Ziehung komplett in eine der drei Mengen ( Null - einfach - mehrfach Vorkommen) fallen werden. Warum ist das so? Wir wollen hier nicht in den Irrtum der "Filter-Experten" verfallen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen hierfür (6 aus 18, im Fall von Null oder einfachem Vorkommen) beträgt "nur" 18.564. Gegenüber der Anzahl der Gesamtkombination von 13.983.816 sind das nur 0,13%, also praktisch zu vernachlässigen. Ein Herausfiltern bringt somit fast garnichts.

Es bleibt also dabei: Die nächsten Lottozahlen kümmern sich überhaupt nicht darum, ob sie die statistischen Erwartungen im konkreten Einzelfall erfüllen oder nicht. Es ist einfach so, dass die Anzahl der möglichen Kombinationen, welche die zu erwartenden statistischen Mittelwerte erfüllen am größten ist und sich deshalb langfristig auch die entsprechenden Mittelwerte einstellen werden.