Kennen Sie das Arcussinus-Gesetz?

Vermutlich nicht. Man nennt es auch das Arcussinus-Paradoxon, weil es sich zunächst so unglaubwürdig anhört. Es besagt, dass bei einem Spiel mit perfekter Chancengleichheit wahrscheinlich derjenige zum Schluss die Nase vorn hat, der auch im bisherigen Spielverlauf meistens vorne lag.

Nehmen wir das Werfen einer Euromünze als konkretes Beispiel. Bei jedem Wurf besteht zwischen "Zahl" und "Adler" eine fifty-fifty-Chance. Wenn wir einen fortlaufenden Saldo mit +1 für die "Zahl" und -1 für den "Adler" bilden, so würde nach Meinung der meisten Leute der Gesamtsaldo um die Nulllinie pendeln, d.h. in der Gesamtschau würden sich Zahl und Adler in der Führung abwechseln.

Genau das ist aber falsch!

Die Wahrheit ist: Nach einer längeren Spielstrecke hat der Saldo die Tendenz entweder im positiven oder im negativen Bereich zu verharren (je nachdem ob "Zahl" oder "Adler" dominiert) und dort sogar zu wachsen . Hierfür besteht jedenfalls die höchste Wahrscheinlichkeit. Zwar ist die Wahrscheinlichkeit für einen Führungswechsel zwischen Zahl und Adler auch nach längerer Spielstrecke nicht gleich Null, sie ist aber geringer und sinkt mit jedem Führungswechsel.

Langfristig am unwahrscheinlichsten ist der Fall, dass sich Zahl und Adler ständig in der Führung abwechseln.

Wer hätte das gedacht?

Dieser Sachverhalt lässt sich experimentell durch die geschilderten Münzwürfe beweisen oder theoretisch durch etwas kompliziertere mathematische Überlegungen, die übrigens erst 1967 stattfanden. Dabei spielt die Arcussinus-Funktion eine zentrale Rolle, daher auch der Name.

Für das Lottospiel können wir daraus die Erkenntnis *) ziehen, dass häufig gezogene Zahlen eher die Tendenz haben, ihren Vorsprung weiter auszubauen und nicht in der Zukunft zurückzufallen. Allerdings ist eine Vielzahl von Lottospielern genau gegenteiliger Ansicht, was wieder einmal beweist, dass erstens die Natur ungerecht ist und zweitens, dass es Menschen schwer fällt, in Wahrscheinlichkeiten zu denken.

Zu dieser Thematik bitte auch den Wortbeitrag Der große Irrtum mit den großen Zahlen beachten.

*) Das Arcussinus-Gesetz in reiner Form gilt aber nur für fifty-fifty-Chancen

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